谁是世界上最孤独的人?别害怕,这篇文章不比小学五年级难!

你觉得哪个号码最孤单?有些人会说它是1,因为它是孤独的 有些人会说它是0,因为它没有存在的意义。 有人会说214,有人会说419(咦) 这些是字面上的直接联系,因人而异,很难说哪个比哪个更孤独。 然而,对于一个学过数学的人来说,确实有最“孤独”的数字。 这个数字就是所谓的黄金比例φ 许多人说它是最美丽的数字,而美丽并不美丽这一事实是一个主观的概念——但是我们可以从数学上证明它是最“不合理”的数字,也是最难以接近的数字,所以从这个意义上说,它是最孤独的数字。 随着我们越来越近,我们再也不能在一起了。表达无理数有很多方法。 我们最熟悉的是无限非循环小数的形式。对于每写一个额外的数字,用一个更精确的有理数来近似它。 当然,这个过程永远不会结束。 然而,无理数也可以用分数的形式来表达,但分数也是无穷无尽的——这需要“连续分数”。 别害怕,这里所有的数学只是加法、减法、乘法、除法和一般分数,不超过小学五年级。 让我们以有理数为例:1024/137,大约是7.47445255 第一个近似值是7,所以它变成7+65/137 第二近似值:从第一级剩下的分数是相反的,137/65大约是2,所以它变成2+7/65,然后开始数变成7+1/(2+7/65) 三阶近似:7/65被相似地对待,依此类推 最后的结果是:或者,那些多余的被省略,可以用[7来表示;2,9,3,2] 可以证明,每个有限连续分数代表一个有理数,每个有理数可以而且只能用两种形式表示为连续分数(第一个系数要求是整数,其余都是正整数) 例如,上述数字也可以表示为[7;2,9,3,1,1] 除了这两种方法之外,没有其他的写作方法。 同样的过程完全适用于无理数,但是此时获得的连分数将继续。 例如,π的连分数可以表示为:或者用简化的表达式:[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,…] 该系列在“OEIS”中编号为A001203 一次一米,或者一次十年,用连续分数逼近,会遇到“逼近速度”的问题:每向前一步逼近精确值有多近?回到π的例子 让我们看一下第一近似值-7 忽略其余部分:π≈3+1/7=22/7≈3.142…熟悉吗?这是祖冲之当年发现的“合同价格”。 如果我们接下来看到第三个近似值:π≈3+1/(7+1/(15+1))= 3+1/(113/16)= 355/113≈3.1415929…即祖冲之的“密度” 两者都是π的极好近似 这是连续得分的神奇属性:当你获得连续得分时,你会自动获得接近精确值的“最快”方法 这有点违反直觉——当你用7作为分母时,最小单位是1/7,所以误差范围应该在1/14以内?事实上,通过使用连续分数获得的误差范围不是在1/14以内,而是在1/49以内!22/7-π≈0.0126&lt。(1/7)^2 更一般地说,如果无理数α被展开成p/q的形式,那么一定有|α-p/q | & lt;此外,这必须是目前最好的精确值,任何比它更精确的分数都需要更大的分母 π的前三级分别是22/7、333/106和355/113。在1-6范围内找不到比7更好的,在1-112范围内也找不到比113更好的。 然而,7比8,9,10好… 因此,可以说连续分数在某种意义上揭示了无理数的深层结构。 回到我们开始的问题 最快的接近速度有多快?从上面的公式可以看出,它完全取决于连分式中的每个特定数——数越大,逼近越快,数越小,逼近越慢。 祖冲之能够找到符合率和秘密率,部分是因为他很幸运,以π开头的两个数字都不小,所以他可以给出一个漂亮的近似值。 最小的正整数当然是1 黄金分割率,最长的旅程如果有这样一个数字:[1;1,1,1,1,1,1,1,…]或者,你一定猜到了,这是传说中的黄金分割数φ,1.6180398…如果删除前一个1,您将得到另一个常见的形式:0.618…这两个数字完全是互逆的。 我们可以从连分数的形式看出原因。 我们试图逼近它,得到2/1 = 23/2 = 1.55/3 = 1.6666…8/5 = 1.613/8 = 1.62521/13 = 1.61538…经过6次近似,结果只有两位小数!刚才,我们用π只做了两个近似值,精确到小数点后6位。 (你可能已经注意到这个连续分数的每一个近似值都是传说中的斐波那契数列 为什么?你能猜到吗? )1是最小的正整数 因此,φ,由全1组成的连续分数,是所有数字中最难接近的。 没有人 孤独的数字,高寒冷的数字,独特的数字,不清楚的数字许多人说φ是最美丽的数字。它被用于西方艺术史上所有优秀的设计中 这实际上是一种夸张。 许多显示黄金比例的所谓图表实际上只是在它们上面强加了一个对数螺线,两者之间没有相似之处。 黄金分割率只是在19世纪才成为一个流行的概念,列奥纳多本人从未提及过。事实上,大多数比率(3:2、4:3、16:9)与黄金汇率“相差不大”,但几乎没有任何确切的匹配。人体并不严格符合黄金律。如果你要求艺术专业的学生选择他们眼中最美丽的矩形,选择的长宽比并不在黄金律周围。 实验表明,只要它是1.4-1.7范围内的矩形,人们就会觉得好看。 黄金分割在美学上没有什么特别之处。我们看到的是,人们试图抓住它来寻找所谓的理论基础。 除了相同的宽度之外,你能告诉我这幅画前面的对数螺线和后面的建筑之间的关系吗?然而,大自然“理解”了它的真正含义。 想象你是一朵向日葵。 你的果实和种子生长在中心,然后逐渐被“推到”外面,在这个过程中逐渐变大——所以传统的密集包装方法(如六角形蜂窝)不能使用。 但是对于你种植的每一颗新种子,你可以选择旋转一定的角度,然后再种一颗。 如果你旋转90度,也就是1/4圈,结果是这样的:因为外环的空比内环的大,所以你永远不会在某些地方使用它。 这是浪费空 选择任何分数-1/3,1/4,2/5,3/7…结果是这样的,形成一种周期性的模式,而这两个周期的中间,总是达不到 如果你想避免循环,你只能使用无理数。 结果是:有了很大的进步,但仍有许多空白是无用的。 毕竟,无理数可以用连续分数来近似。 如果近似值太好,它与分数没有太大不同。 因此,我们必须找到一个离分数最远、最难接近和最不合理的数字,以便不产生周期性,并弥补中间的差距空。 这是φ 其对应的角度约为137.5度 这个数字必须非常精确,否则整个图案将被破坏。 算上第二个数字——137.6度,只多了0.1度。 但是大自然显然已经掌握了这个数字。 向日葵当然不理解这背后的数学原理,但它在自然选择的压力下猜到了答案。 这一系列照片的来源:橙帮小头目的800年松鼠问题。下图并不表示下面的截图模拟了不同值造成的后果。 输入0.618,比较0.617和0.619的结果。 如果φ体现了美,我宁愿认为它展示了自然的一个角落,而不是似是而非的神秘主义。 简而言之,不管φ在美学意义上是不是一个美丽的数,φ在数学意义上是一个很冷的数。 这是最有效的,但也是最难接近和不合理的。因此,它也是最孤独的数字。 相比之下,一个人经常感到孤独不是因为他不讲道理,而是因为他太讲道理了。 作者:Ent Editor: Calo本文来自果壳(身份证号:Guokr42),未经授权不得转载。如有任何需要,请联系sns@guokr.com。”

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